说起数学中名声在外的函数，大家都不陌生。但是，似乎都忘记了映射这个重要的媒介。当时，为了解释函数，教科书里才简单描述了它。那么，它真的很简单？当然不是。

说起直积映射，我以前是不知道的。后来在一本代数数论书籍中，我看到了直积以及直积映射。直积是笛卡尔乘积，就是一个集合的任一元素与另一个集合的任一元素的乘积。说起笛卡尔，想必谁都不陌生。一句我思故我在，成为多少人的口头禅。直积映射就是关于映射族的映射。映射族听起来和集合族差不多，其实也是同样的道理。映射族就是映射代数化。怎么理解2＝2是个等式x-2＝x－6就是一个方程。当然，这还是不具有说服力。3+4＝5就是一个等式，a+b=c就是一个等式族。

我们知道同质化和同胚，但是同构呢？同胚有拓扑同胚和微分同胚，而同构就有向量空间同构。我们既然是谈映射，同构自然也有映射。同构映射是同态映射和双射，都是群论概念。同态本来就是映射，如果再说映射，不就是同义重复吗？它涉及群胚，是一种范畴论的概念。与元素偶有关。这个词语听起来有些奇怪，为什么不叫元素对呢？对表示两个，而偶可以表示多个。所以，偶是对的推广。

说起反射，是不是觉得是物理的？但是，数学中也有反射这个概念。在形态学里，指的是两个集合存在相似。

对合听起来有些绕口，理解起来的确存在困难。对合和同态一样，都是映射。对合的例子有很多，有恒等映射、圆反演等。而对合变换也很特殊，它是幂幺变换。幂幺变换的形式是指数，关键是幂幺指数。

切映射听起来像个动词组合，其实是名词。微分几何里，也有切空间。它们都和微分流形有关。

世界真奇妙，数学显神功。

微分出流形，几何连代数。

各个数学家，各展已之才。

大厦何其多，我从里面过。

依靠一后缀，寻出多条线。

一线引多线，概念如泉涌。

为解其中一，试思他二三。

从此形成链，进而形成网。

我知学不应急，怎奈迷茫太甚。

如若不寻一二助力，登上座座学术大厦岂非妄想？

记得孔子说过，学习是要思考。

对此，我想也是。

很多时候，哪有现成的结论让你用上。

到头来，还不是要靠自己来想。

即使读者读得尴尬，我也实属无奈。

第一，是为学习。第二，是为理想。

人生在世，怎能没有追求？

如果事事都以不懂推脱，不是偷懒的表现吗？

学术本是难事，故而难做。

但是，我想求知之火又怎么能让它熄灭？

由于不是在学术平台，所以我就不受限制。

当然，凡事都有成本和代价。

自由也不例外。

我的观点可能存在错误而我却不自知，不过人谁无过呢？

好了，就这样水了半章。